第5章 大数定律和中心极限定理

例题5-1

题型：计算题

题目：袋装奶粉规定每袋净重1000克，标准差为20克，每箱装有50袋，计算一箱奶粉

      净重不足49750克 概率。

答案：设一箱奶粉净重克，其中第袋奶粉重克，，

     ，

      。。我们认为

      相互独立，可以应用中心极限定理，近似服从正

      态分布。

。

分析：应用中心极限定理解题时，首先要建立一串(比如个)相互独立同分布且期望与方差 (或标准差)已知的随机变量;其次要将所求事件的概

       率等价于这一串随机变量和在某一范围内取值的概率。而后者近似服从正态

       分布 ;最后应用正态分布表计算出所求概率。

例题5-2

题型：计算题

题目：进行一百次独立重复试验，每次试验成功的概率为0.8，求

（1）       一百次试验成功的频率不超过90%的概率

（2）       成功的频率恰好为80%的概率

答案：设随机变量为一百次试验中成功的次数，服从二项分布

    

（1）

（2）

分析：二项分布中，当较大，而很小时，可用泊分布近似。如果接近于

      1，则就很小，根据

     亦可用泊松分布近似计算所需概率，而当接近0.5，用泊松分布进行估计二

     项分布的概率就不够精确，需用正态分布估计。另外，

可用正态分布近似估计。

例题5-3

题型：计算题

题目：某车间有同型号机床200部，在某段时间内每部开动的概率为0.7，假定各机床

      开关是相互独立的，开动时每部要消耗电能15个单位，问电站最少要供应这个

      车间多少单位，才可以95%的概率，保证不致因供电不足而影响生产。

答案：记为二百部机床中同时开动的数目。易见服从二项分布

      ，依题意

　　　　　　　　

查标准分布表，得

　　　　电站只要供给该车间2265单位电能即可以95%的概率，保证不致因供电不足

        而影响该车间的生产。

分析：我们不仅可以应用中心极限定理对一个二项分布近似计算它们给定范围内取值

      的概率而且可以对一个二项分布当给定其在某一范围内的概率时，应用正态分

      布近似估计出其取值的区间。之后求出。